Sobre la filosofía de las matemáticas


Commemorative plaque at the birthplace of Kurt...Image via Wikipedia

Siempre es bueno leer sobre otros aspectos de la ciencia, en particular a los matemáticos, gente romántica si las hay. Son capaces de creer en un 4, pero no entienden de las flores. Pense que hacia años ya no se discutía la ecuación de Godel.

Gregory Chaitin nació en los EE.UU., pero estudió en la Argentina. El jinete hipotético tuvo una charla con él sobre la filosofía de las matemáticas. Sepa el lector que deberá forzar su atención para comprender cosas que parecen abstrusas pero que en realidad no lo son.

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–No hablemos tanto del número omega, que ya está en todos lados, sino de sus posturas filosóficas sobre la matemática. Usted tiene una postura…

–Cuasi empírica, diría.
–¿Y en qué consiste una postura cuasi empírica en matemática?
–Mi enfoque es desde el punto de vista de la teoría de la información. Para mí una teoría (tanto física como matemática) lo que hace es comprimir. Comprender es comprimir. Lo que hace es comprimir hechos experimentales en una estructura más simple que los explica a todos. En el caso de la matemática es parecido: en este caso no son hechos experimentales lo que explicamos, sino hechos numéricos, y no son ecuaciones matemáticas, sino que son los axiomas de la matemática. Me parece que en ambos casos lo que hace una teoría es organizar lo que vemos en una estructura que lo hace más comprensible y nos ayuda a predecir lo que va a pasar si hacemos otros cálculos u otros experimentos. En ambos casos estoy pensando en la teoría como software, como algoritmo: en el caso de la física es un algoritmo para calcular hechos experimentales; en el caso de la matemática es más bien deducir mecánicamente consecuencias que son las consecuencias lógicas de los primeros principios. Desde este punto de vista, las dos cosas no son demasiado diferentes. Yo no veo una ruptura tan enorme entre la física y la matemática. De un lado se insiste en que las demostraciones rigurosas son una necesidad imperiosa y del otro lado el físico se contenta a veces con argumentaciones heurísticas: el físico no dice que la ecuación de Schröedinger es evidente de por sí, pero desde la matemática se insiste en que un axioma debe ser evidente de por sí. En fin: no digo que la matemática y la física son idénticas, porque eso es falso, pero creo que habría que conceder que tienen un grado de parentesco más grande que lo que se admite habitualmente.
–Uno puede pensar la física como estructura axiomática, también. Los Principia de Newton son una estructura axiomática: se parte de ahí y opera todo como un sistema formal.
–Hasta cierto punto, porque las demostraciones que utilizan los físicos no satisfacen del todo a los matemáticos.
–Bueno, porque nadie se pone a hacerlas rigurosas, pero si alguien quisiera…
–¿Usted cree que se puede?
–Creo que la creencia de todo físico es que todo aquello que es matemáticamente deductible es físicamente real. ¿Usted estaría tomando el sistema axiomático como una empiria?
–Tomemos el famoso resultado de Gödel de 1931. ¿Hay que tomarlo en serio o no? La mayoría de los matemáticos dicen que no hay que tomarlo en serio. Yo no lo sé, pero decidí dedicar mi vida a jugar con la posibilidad de que el resultado de Gödel es serio. Si se toma demasiado en serio, no existe la prueba: trabajé durante tres días tratando de demostrar algo, no lo pude hacer, entonces lo propongo como un nuevo postulado. Un matemático diría que es ridículo, pero esa sería una actitud extrema provocada por Gödel. Yo no quiero eso. A mí me parece que la física y la matemática, en lugar de estar tan separadas, deberían entrar en un continuo donde se amalgamen la rigurosidad demostrativa de la matemática y las argumentaciones heurísticas de la física. No hay que construir una pared infranqueable…
–Es que no la hay.
–Bueno, y sin embargo en una revista de matemática no se puede publicar un argumento que andaría muy bien en una revista de física.
–El físico lo que sí hace es, después de un proceso de deducción, ir a la realidad y medir.
–El matemático también lo puede hacer. Por ejemplo: la hipótesis de Riemann, cuya consecuencia es que los números primos se tienen que distribuir de determinada manera. Uno se puede poner a hacer un cálculo monstruoso para ver si efectivamente los primos se distribuyen de esa manera.
–O ver cómo se distribuyen los números primos realmente.
–Sí. En teoría de números se trabaja de una forma cuasi empírica. Porque muchas veces mediante muchos cálculos se ven muchos casos y la gente conjetura algo que después se tarda centenares de años en demostrar.
–La conjetura de Goldbach…
–Claro. En ese campo en particular, la brecha entre lo que se cree cierto en base a cálculos y lo que se puede demostrar es enorme.
–Pero uno no puede construir una teoría matemática sobre la conjetura de Goldbach.
–Bueno, fíjese lo que pasa aquí. Hay una conjetura que se llama P no igual NP. Y otra conjetura que dice que factorizar números grandes requiere un tiempo de cómputo monstruoso, que es la base de muchos sistemas secretos. La gente en teoría de la computación no se puede detener porque no logra demostrar algunas cosas fundamentales: toda la comunidad cree en ciertos resultados y ellos siguen adelante.
–En cierta forma se puede decir que pasó lo mismo con el análisis hasta la llegada de Cauchy.
–Bueno, fue no riguroso.
–Claro. Cuando Berkeley decía que no tenía ningún sentido, tenía razón.
–El insistir en el rigor matemático a veces destroza un campo. Especialmente cuando ese campo es nuevo, y las ideas se están explorando. Una vez que la parte creativa terminó, entonces llegan los “abogados”, los matemáticos que quieren pulir todo y dejar una forma axiomática cerrada. Pero la parte creativa no se hace así.
–No se olvide que, también, por el problema de la falta de rigor Cauchy confundió dos conceptos de continuidad que crearon un lío espantoso.
–Sí, es cierto. Hoy en día está de moda decir que la matemática es un sistema riguroso formal axiomático “a la Hilbert” y que el rigor es lo más importante. El método axiomático, desde esta perspectiva, es la matemática. Pero hay otros que dicen que el método axiomático es un cementerio para las ideas. Una vez que todo está en un sistema axiomático formal, el trabajo creativo se acabó. Creo que la escuela Bourbaki exageró muchísimo. Yo creo que el teorema de Gödel apoya para decir que Bourbaki exageró: es decir, hay una parte irreductible que es creativa dentro de la matemática, lo cual significa que su realidad no es blanca o negra como se pensaba. Es posible que se produzca una ruptura, que dos escuelas diferentes crean en primeros postulados que sean incompatibles entre sí…
–Bueno, durante bastante tiempo los resultados de Cantor no fueron aceptados hasta que Hilbert intervino…
–El problema es que esos resultados todavía son paradójicos y contradictorios. Ese campo es muy peligroso porque se producen paradojas muy fácilmente. Yo no soy especialista en nada de eso. Yo creo que hubiese sido muy lindo si Hilbert hubiese tenido razón…
–Hubiese sido muy aburrido…
–Bueno, estamos de acuerdo. Hubiese sido un sistema cerrado, mecánico, y eso no es cierto. La matemática tiene una parte creativa irreductible. Yo creo que Gödel hace eso: nos da libertad creativa a los matemáticos. Y no debemos desechar esta creatividad.
–Hay dos formas de entender la creatividad. Una es pensarla como que no hay una cadena lógica y es necesario adivinar un axioma. La otra es pensar que la creatividad viene de comprimir una cadena lógica muy larga con una nueva idea.
–Gödel decía que una razón pragmática para adoptar un nuevo principio es que achica demostraciones de cosas que uno ya pudo demostrar. Los teóricos de la teoría de conjuntos han agregado axiomas nuevos, como por ejemplo el “proyective determinacy”. Los matemáticos más agudos del mundo están convencidos de que estos principios faltaban en los axiomas, pero hicieron falta treinta años de trabajo para descubrirlos.
–¿La matemática está en un atolladero?
–Creo que hay algunos problemas: demasiado formalismo, por ejemplo, lo cual puede producir miedo en los estudiantes. Yo creo que la matemática es como la literatura: los conceptos y las teorías importantes tienen que enseñarse como literatura, explicando de dónde vienen y por qué sirven. Y eso se considera un crimen en la matemática actual.
–¿Existen en el mundo los objetos matemáticos?
–La física matemática trabaja como si la realidad última del universo fuera matemática. Si este punto de vista tuviera razón, el mundo sería matemático. Yo no sé si esto es así, pero lo que sí creo es que sin teorías no se llega a ningún lado. Y una teoría es un salto de imaginación: las cosas tal como se ven no son la verdad, la verdad está más allá. Como dice Novalis: las teorías son como redes, si uno no las lanza no pesca nada. Einstein dice que cada físico teórico bueno es un metafísico reformado: alguien que cree que el mundo se puede comprender por pensamiento puro.
leonardomoledo.blogspot.com



  


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